Sebuah ilustrasi yang baik tentang penerapan formalisme supersimetris yang digabungkan dengan metode vibrasi diperoleh dari studi potensi Lennard-Jones.
Potensi ini diberikan oleh:
Dimana D e adalah energi disosiasi dan r e adalah jarak antar inti kesetimbangan.
Dengan sedikit manipulasi aljabar dimungkinkan untuk menyadari bahwa persamaan radial Schrödinger untuk potensial dari persamaan yang disajikan dapat digambarkan sebagai berikut:
Di mana
sesuai dengan istilah penghalang potensial
x =,
λ =,
dan = .
Oleh karena itu, Hamiltonian untuk potensial Lennard-Jones diberikan oleh:
Solusi analitik yang tepat untuk persamaan Schrödinger untuk jenis potensial ini tidak dapat ditentukan. Sementara itu, potensi super dapat dicari yang memberikan potensi efektif yang serupa dengan aslinya dan fungsi diri yang sesuai untuk metode variasi. Superpotensial yang disarankan dalam hal ini memiliki bentuk:
Saran ini dapat dipahami dengan melihat potensi yang dihasilkan oleh negara adidaya sebelumnya, dengan struktur ini dijamin bahwa istilah yang sebanding dengan x -12 , x -6 dan x -2 muncul dalam potensi efektif. Akibatnya, negara adidaya ini menghasilkan potensi efektif berikut melalui ekspresi:
Fungsi otomatis diperoleh melalui persamaan lain dan dapat ditulis sebagai:
Di mana h mengambil peran parameter variasi
Membandingkan suku proporsional untuk 1 / x 12 dan 1 / x 6 dalam persamaan sebelumnya, dengan potensial asli, yang terkandung dalam Hamiltonian, adalah mungkin untuk memperbaiki nilai konstanta A dan B. Dalam kasus ini, kita memiliki bahwa A = B =.
Nilai eigen energi diperoleh melalui minimalisasi persamaan dalam kaitannya dengan parameter variasi h . Secara eksplisit, persamaan yang akan diminimalkan diberikan oleh:
Hasil minimisasi energi ditunjukkan pada Tabel 1 dan 2.
Tabel 1 menunjukkan hasil untuk l = 0 dengan nilai yang berbeda , sedangkan Tabel 2 menunjukkan nilai yang diperoleh untuk , tetap (10000), memvariasikan nilai l. Hasilnya dibandingkan dengan nilai-nilai yang ditemukan dalam literatur.
Tabel 1: Hasil numerik untuk energi keadaan dasar dari potensi Lennard-Jones untuk nilai yang berbeda dari λ untuk tetap l . E v mewakili nilai yang diperoleh dengan metode variasi bersekutu dengan supersimetri dan E WKB adalah nilai yang ditemukan melalui metode WKB.
Tabel 2: Hasil numerik untuk potensi Lennard-Jones untuk nilai yang berbeda dari l dan λ = 10000 (tetap). E v mewakili nilai yang diperoleh dengan metode variasi yang bersekutu dengan supersimetri dan E WKB adalah nilai yang ditemukan melalui metode WKB.
Hasil yang disajikan dalam tabel menunjukkan bahwa nilai variasi yang ditemukan setara dengan yang diperoleh WKB. Pada Tabel 1 diamati dengan pengecualian hasil pertama, hasilnya bertepatan dengan rumah desimal ke-5. Semua nilai dalam Tabel 2 praktis bertepatan.
Perbandingan grafis antara potensial Lennard Jones asli ditambah suku penghalang potensial efektif menunjukkan kesamaan antara dua kurva.
Contoh perbandingan ini ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar: Perbandingan antara kurva potensial Lennard-Jones asli, V (x) adalah potensial efektif yang disarankan V ef (x) . Parameter yang digunakan adalah λ = 100, A = 10, B = 10 dan h = 3.61.